78 Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton José R. Galo Sánchez Épsilon, 2020, nº 106, 77-100, ISSN: 2340-714X INTRODUCCIÓN Newton en el bienio 1665-1666 estuvo recluido con motivo de la gran peste de Londres y, durante ese tiempo, formó sus ideas sobre el universo y puso los fundamentos de lo que sería un cambio en el curso de la ciencia (Maor 2006). Este autor detalla que, en esa época, también procedió a la extensión del triángulo aritmético —actualmente denomi- nado como triángulo de Pascal— a un rectángulo con igual lógica aritmética construc- tiva y con él abordó la expansión de la potencia de un binomio a potencias de exponente entero y racional. Newton realizó dicha extensión apoyándose en la versión escalonada del triángulo que aportó Stilfel (1544), si bien podemos construirlo de igual manera uti- lizando la versión de Yang Hui (Weisstein, 2003) que se corresponde con la presentación como triángulo isósceles, la habitual hoy en día, y en este caso la extensión de Newton adopta la forma de un paralelogramo. Pascal escribe en 1654 su libro “Traité du triangle arithmétique” (Pascal, 1665) y en él incluye una organización diferente de este triángulo, lo presenta como un triángulo rectángulo, y élla es la que consideramos en este artículo como la más adecuada. Inicialmente, abordamos la construcción del paralelogramo de Newton o, en particu- lar el rectángulo, y se pone de manifiesto la dificultad que entraña su cálculo y su escri- tura cuando el número de columnas y/o filas a considerar es relativamente elevado. La representación se simplifica un poco y se logra gran belleza geométrica si se colorean todos los números que son congruentes entre sí, pues se obtienen curiosos y bonitos pa- trones geométricos de aspecto fractal. En este documento se incluyen referencias a recur- sos interactivos desarrollados por el autor que permiten reproducir todo lo indicado y/o consultar muestrarios de dichos patrones. Posteriormente se muestra cómo, considerando la versión aportada por Pascal de su triángulo, el rectángulo de Newton se obtiene mediante una simple simetría signada (las columnas impares cambian de signo y las pares lo mantienen) y en la representación de las congruencias con cero se tiene una simetría geométrica. Así pues, es suficiente con- siderar únicamente el triángulo de Pascal tanto para abordar el desarrollo de la potencia de un binomio en el caso de números enteros positivos y también negativos, como en el estudio de las congruencias con cero. Finalmente se aborda el análisis de las congruencias con cero módulo un número primo de los números combinatorios (y por simetría de los coeficientes binomiales) rea- lizándose interpretaciones geométricas de conocidos resultados algebraicos e incluyendo dos resultados propios: uno relativo a la periodicidad de dichas congruencias y otro que permite determinar directamente si un número es o no congruente con cero. EL PARALELOGRAMO DE NEWTON El “triángulo de Pascal” (ver figura 1) es ampliamente conocido por entidad propia, por las curiosas propiedades que acontecen en él (Pascal, 1665) y suele aprenderse ligado a lo que usualmente se enseña con el nombre de “binomio de Newton”, es decir, la poten- cia de un binomio cuyo exponente es un número natural. Pero quien enunció o al menos divulgó este desarrollo particular, relacionándolo con ese triángulo, fue Pascal y de ahí