85 Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton José R. Galo Sánchez Épsilon, 2020, nº 106, 77-100, ISSN: 2340-714X Dada la relación existente entre los coeficientes binomiales de índice superior nega- tivo y los números combinatorios (índice superior positivo): podemos observar la correspondencia que hay entre los coeficientes del rectángulo de Newton ubicados en la extensión realizada por él y los situados en la zona de partida de Pascal. En la figura 12.A, seleccionada una columna, salvo un posible cambio de signo, los coeficientes de la extensión de Newton (filas etiquetadas con números negativos) se corresponden con los del triángulo de Pascal, pero con una traslación en la numeración de las filas. Por ejemplo, para la columna 3 los coeficientes de la zona correspondiente a la extensión de Newton son {-1, -4, -10, -20, -35, -56, -84,...} que se corresponden con las filas numeradas respectivamente como {-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7,...}, y los coefi- cientes en la zona del triángulo de Pascal son {1, 4, 10, 20, 35, 56, 84,...} pero trasla- dadas en este caso tres posiciones, pues aquí sendas filas se corresponden con {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}. Dada la simetría que acontece en el triángulo de Pascal y la que ocurre en la extensión de Newton (en valor absoluto) también tendremos que los coeficientes de la fila -1 se co- rresponden, de nuevo en valor absoluto, con los de la diagonal 0 en la zona del triángulo de Pascal, los de la fila -2 con los de la diagonal 1 y, en general, la fila -n con la diagonal n-1. Es lo reflejado en la figura 12.B. Omitiendo los ceros y trasladando las columnas hacia arriba para ocupar los huecos, obtenemos una tabla simétrica signada (para columnas impares el signo cambia, es ne- gativo, y para las pares se mantiene positivo) que se refleja en la figura 12.C. En esa ima- gen hemos omitido la numeración de las filas en la parte inferior ya que esos coeficientes ya no se corresponden con los números combinatorios del triángulo de Pascal por filas, sino que esos coeficientes están ordenados según la estructura original adoptada por Pas- cal. De esta manera, conocidos los coeficientes del triángulo de Pascal tenemos también los correspondientes al rectángulo de Newton y consecuentemente bastaría sólo calcu- lar el primero. La relación observada en las imágenes de la figura 12 se justifica sin más que deta- llar la relación existente entre los coeficientes binomiales que ahí están involucrados, y eso es lo que se refleja en la figura 13. En el recuadro izquierdo tenemos los coeficien- tes del rectángulo de Newton, destacando en color naranja la ampliación de los números combinatorios con índice superior positivo o nulo y con índice inferior de mayor valor que el superior, cuyo valor es cero. En el cuadro intermedio se han omitido esos números nulos y se han compactado las columnas para ocupar los huecos. Y en el marco derecho se han expresado los coeficientes binomiales de índice negativo según su equivalencia con los números combinatorios y ahí puede comprobarse la simetría de los coeficientes que ya hemos indicado.