89 Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton José R. Galo Sánchez Épsilon, 2020, nº 106, 77-100, ISSN: 2340-714X CONGRUENCIAS EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL, PERIODICIDAD Reducido el estudio de las congruencias con cero en el rectángulo de Newton a las existen- tes en el triángulo de Pascal pasamos a considerar sólo éstas. El análisis de cuándo un coe- ficiente binomial, un número combinatorio, es divisible por un determinado número primo es un problema sobre el que podemos encontrar bastantes resultados con fundamento arit- mético y algebraico. Aquí, nos centraremos en aquellos resultados que nos permitan de- terminar y visualizar gráficamente dichas congruencias, es decir, poder obtener el gráfico de la figura 16 y otros análogos para otros módulos primos sin necesidad de calcular el co- eficiente binomial y determinar su congruencia, u obtener ésta mediante una recurrencia. Figura 16. Imagen de las congruencias con cero módulo dos de los coeficientes binomiales en el rectángulo de Newton. Simetría respecto a esas congruencias en el Triángulo de Pascal. Kung (1976) analiza las congruencias módulo 2 y afirma que para i entero no negativo: • Si n = 2 i y 1 ≤ k ≤ n-1, entonces es par. • Si n = 2 i -1 y 0 ≤ k ≤ n, entonces es impar. Y ello se observa en las imágenes de las figuras 6 y 7 ya que en ellas cuando n = 0, 3, 7, 15, 31, todos los símbolos en esas filas o diagonales, respectivamente, son asteriscos (números impares). Y para n = 2, 4, 8, 16, 32, son todos cruces (números pares), salvo el primero y el último. El artículo de Kung es breve, centrado en congruencias módulo 2, pero marca unas pautas que son extrapolables a la obtención de patrones en las congruencias con cero módulo otros números primos. De hecho, ese resultado es un caso particular de los dos enunciados por Fine (1947), si bien el primero de ellos (según Joris et al., 1985) fue for- mulado por Ram en 1909: