90 Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton José R. Galo Sánchez Épsilon, 2020, nº 106, 77-100, ISSN: 2340-714X La condición necesaria y suficiente para que todos los coeficientes binomiales con 0 < k < n, sea divisible por un primo p es que n sea una potencia de p. La condición necesaria y suficiente para que ningún coeficiente binomial de ín- dice superior n, con n = n 0 + n 1 p + n 2 p 2 + + n m p m , siendo 0 ≤ n r < p y n r > 0, sea divisible por p es que n r = p - 1 para r < m. Veamos cómo se reflejan estos resultados de una manera gráfica: En la imagen de la figura 17 se refleja gráficamente el primer resultado cuando p = 3, mostrándose todas las líneas en las que todos los números combinatorios son divisibles por 3, salvo el primero y el último. Esas líneas se corresponden con con 0 < k < n y n = 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 3 ,... Gráficamente vienen a ser las “hipotenusas” de los triángulos rectángulos que particionan al triángulo de Pascal y que lo mues- tran a diferentes escala. Posteriormente utilizaremos esta analogía y terminología coloquial para ubicar y describir otros resultados. En la figura 18 se reflejan aquellas líneas en las que ningún número combinato- rio es divisible por 3. En la parte superior de esa imagen se reflejan las separa- ciones entre esas filas (por falta de espacio tipográfico no se refleja el caso 3 0 ) y a la derecha se muestra la descomposición p-ádica del índice n correspondiente a los números combinatorios de cada una de esas líneas. Por ejemplo, para 53 = 2 3 0 + 2 3 1 + 2 3 2 + 1 3 3 y eso nos muestra el camino de “saltos” de amplitud po- tencias de tres que se han de dar para, partiendo de 0, llegar a 53 (dos de ampli- tud 3 0 , dos de 3 1 , dos de 3 2 y uno de 3 3 ). Es decir, logramos mostrar visualmente, geométricamente, lo que queda escondido en un abstracto resultado algebraico, el cual puede ser chocante a cualquiera que accede a él por primera vez. A la pre- gunta, típica de nuestro alumnado: ¿a quién se le ocurre que la descomposición p-ádica da respuesta a este problema? le mostramos que el resultado algebraico, Figura 17. Números combinatorios divisibles por 3 para todo k, 0 < k < n. Líneas con todos los números combinatorios divisibles por 3 salvo los extremos.