95 Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton José R. Galo Sánchez Épsilon, 2020, nº 106, 77-100, ISSN: 2340-714X DETERMINACIÓN DIRECTA DE CONGRUENCIAS EN EL TRIÁNGULO DE PASCAL Dado un número combinatorio nos preguntamos si podemos determinar si es o no congruente con 0 módulo p sin necesidad de calcularlo, de una manera directa, sencilla, rápida y sin aplicar recursividad, o lo que es equivalente, sin basarse en números com- binatorios con índice superior menor que n. La respuesta es afirmativa y para ello nos vamos a basar en la posición relativa (fila y columna) que ocupa cada número combina- torio en el triángulo de Pascal en la posición original con la que aquí estamos trabajando. Observemos que el número ocupa la fila n-k y la columna k, que todos los números combinatorios de índice n cumplen que la suma de la fila y la columna que ocupan es n, y que los números combinatorios del triángulo rectángulo T (n; r, s) cumplen que la suma de la fila y la columna de todos ellos es mayor o igual que n. Con este dato y en base a la periodicidad podemos afirmar lo siguiente: Proposición 5 Dado el número combinatorio , consideremos la descomposición p-ádica de los nú- meros n-k y de k: n-k = a 0 + a 1 p + a 2 p 2 + ··· + a m p m n = b 0 + b 1 p + b 2 p 2 + ··· + b m p m con m = max (ent(log p (n-k)), ent(log p (k)) ), 0 ≤ a j , b j < p, se verifica que: es divisible por p si y solo si a υ + b υ ≥ p al menos para algún υ, 0 ≤ υ ≤ m. Además, para los valores de υ en los que a υ + b υ ≥ p, entonces está en un triángulo de números congruentes con 0 módulo p del tipo T(p v+1 ;1, p v+1 -1). Por la periodicidad reseñada en la proposición 4 (figuras 21 y 22), si hallamos la con- gruencia de n-k y k con las diferentes potencias de p v , lo que hallamos es la fila y columna que ocupa el número combinatorio de igual congruencia en relación al cuadrado o matriz C υ = (c i,j ) con 0 ≤ i, j ≤ p v+1 -1 y 0 ≤ υ ≤ m (ver figura 23). Por ejemplo, si consideramos p = 3 y el número combinatorio , éste ocupa la posición correspondiente a la fila 14, resultado de 34-20, y la columna 20 (ver en la figura 24 el punto verde claro). Las con- gruencias respectivas con 3 υ , υ ∈ ℕ∪{0} son: