96 Congruencias en el triángulo de Pascal y el rectángulo de Newton José R. Galo Sánchez Épsilon, 2020, nº 106, 77-100, ISSN: 2340-714X ( ) 20 34 mod 3 1 mod 3 2 mod 3 3 fila 34-20 = 14 2 5 14 columna 20 2 2 20 fila + columna 2+2 = 4 ≥ 3 1 5+2 = 7 < 3 2 14+20 = 34 ≥ 3 3 Por tanto tiene la misma congruencia que , y puesto que en este caso fila+columna mod 3 1 es mayor o igual que 3 1 , entonces está respectivamente en un triángulo congruente con T(3 1 ; 1, 3 1 -1) (color verde oscuro en la figura 24). Similar- mente no lo está en ninguno congruente con T(3 2 ; 1, 3 2 -1) (azul claro en dicha figura 24) y sí lo está también en uno congruente con T(3 3 ; 1, 3 3 -1) (color magenta en la misma fi- gura). De esta forma se detectan todos los triángulos básicos en los que estaría ese nú- mero combinatorio. Pero si lo único que se desea saber es si es o no congruente es suficiente hallar, como se indica en el enunciado de la proposición 5, la descomposición p-ádica, ya que si los coeficientes respectivos de esas descomposiciones para alguna de las potencias, por ejemplo para υ, verifican que a υ + b υ p, entonces: fila + columna ≥ (a υ + b υ ) p υ p · p υ = p υ+1 , es decir, está en un triángulo congruente con el triángulo básico T(p v+1 ;1, p v+1 -1) y, por tanto, es un número combinatorio congruente con 0 módulo p. En este caso dado que es una cota inferior para fila+columna, lo que tenemos es una condición suficiente pero no necesaria, pu- diéndose darse casos en los que aunque sea a υ + b υ < p ese número combinatorio pudiera perte- necer a un triángulo congruente con el triángulo básico T(p v+1 ;1, p v+1 -1). En el ejemplo antes considerado del número combinatorio si realizamos la descomposición 3-ádica: fila 34-20 = 14 3 0 + 3 1 + 3 2 columna 20 3 0 + 3 1 + 3 2 a υ + b υ 2+2 = 4 ≥ 3 1+0 = 1 < 3 1+2 = 3 ≥ 3 La condición suficiente detecta que a 0 + b 0 3, luego está en un triángulo congruente al T(3 1 ; 1, 3 1 -1); también a 2 + b 2 3, luego está en un triángulo congruente al T(3 3 ; 1, 3 3 -1); y dado que a 1 + b 1 < 3 no podemos afirmar nada acerca de pertenencia a un triángulo T(3 2 ; 1, 3 2 -1). En este caso se da la situación de que no pertenece a ese tipo, pero en otros casos sí podría serlo, veámoslo en otro ejemplo.